Lorentz多様体における距離
今回はこれから必要となる概念の定義ばっかりで正直あんまり面白くないです。
Lorentz多様体は擬Riemann多様体なので、距離関数も通常の正定値計量のRiemann幾何のものとは異なります。
まず区分的に滑らかな因果的曲線$\gamma(t)$の区間$t\in[a,t]$の弧長$L(t)$を
$L(\gamma)[t]\equiv \int^{t}_{a}||{\dot \gamma}||dt=\int^{t}_{a}\sqrt{-g({\dot \gamma},{\dot \gamma})}dt$
で定義します。
これを使ってLorentz多様体における"距離"(時間間隔)は次のように定義されます。
[定義：Lorentz多様体における距離]
$C(p,q)$を2点$ p,q \in M $を結ぶ全ての区分的に滑らかな因果的曲線全体の集合とする。
2点$p,q$間の距離$d : M \times M \rightarrow {\mathbb R} \cup \infty$は、
1. $ q \in I^{+}(p) $のとき、$d(p,q)\equiv \sup\{L(\gamma) : \gamma \in C(p,q)\}$
2. $ p,q \in M $が因果的関係を持たない場合、$d(p,q)=0$
で定義する。
$C(p,q)$を2点$ p,q \in M $を結ぶ全ての区分的に滑らかな因果的曲線全体の集合とする。
2点$p,q$間の距離$d : M \times M \rightarrow {\mathbb R} \cup \infty$は、
1. $ q \in I^{+}(p) $のとき、$d(p,q)\equiv \sup\{L(\gamma) : \gamma \in C(p,q)\}$
2. $ p,q \in M $が因果的関係を持たない場合、$d(p,q)=0$
で定義する。
[補足]
・$q\in I^{+}(p)(q\neq p)$であれば、$d(p,q) >0$
・$q\in E^{+}(p)=J^{+}(p) \backslash I^{+}(p)$であれば、$d(p,q)=0$
・$ \gamma : [0,\infty) \ni t \rightarrow M $が未来向き完備な時間的測地線のとき、
・$q\in I^{+}(p)(q\neq p)$であれば、$d(p,q) >0$
・$q\in E^{+}(p)=J^{+}(p) \backslash I^{+}(p)$であれば、$d(p,q)=0$
・$ \gamma : [0,\infty) \ni t \rightarrow M $が未来向き完備な時間的測地線のとき、
$\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} d(\gamma(0),\gamma(t)) = \infty$
Lorentz計量の場合、距離に対して成り立つのは次の"逆"三角不等式になります。
(逆三角不等式)
(ここで、$ p< q < r $の順で未来の点を表す。)
$d(p,r)\geq d(p,q)+d(q,r)$
(ここで、$ p< q < r $の順で未来の点を表す。)
・この不等式から、距離に上限が存在しないので、連結領域内の2点$ p,q\in M $に対して$d(p,q)=\infty$となることもあり得る。
・有名な双子のパラドックスでは、$d(p,r)$が地球に留まる弟の時間、$d(p,q)+d(q,r)$が宇宙に出て点$ q $で折り返して帰ってくる兄の時間に対応する。
次に最長因果的曲線について定義します。
[定義：最長因果的曲線]
点$ p $と$ q\in I^{+}(p)$を結ぶ未来向きの因果的曲線が最大長であるとは、$L(\gamma)=d(p,q)$となることをいう。
点$ p $と$ q\in I^{+}(p)$を結ぶ未来向きの因果的曲線が最大長であるとは、$L(\gamma)=d(p,q)$となることをいう。
Lorentz多様体では、どのような状況で2点間の距離が最長になるのか、そもそも最大値が存在するのかは全く自明ではありません。
そこでそれらを議論するために大域的双曲性(global hyperbolicity)なるものを定義します。
[定義：大域的双曲性]
$(M,g_{ab})$が大域的双曲であるとは、$ M $上で強い因果律条件が満たされ、任意の2点$ p,q\in M $に対し$J^{+}(p)\cap J^{-}(q)$がコンパクトで$ M $内に含まれていることをいう。
$(M,g_{ab})$が大域的双曲であるとは、$ M $上で強い因果律条件が満たされ、任意の2点$ p,q\in M $に対し$J^{+}(p)\cap J^{-}(q)$がコンパクトで$ M $内に含まれていることをいう。
ここで出てくる強い因果条件(strong causality condition)とは、
時空$(M,g_{ab})$において、$ M $の任意の点$ p \in M $とその近傍系$O_{p}$を考えたとき、任意の$O_{p}$に対してその部分集合$V_{p} \subset O_{p}$として$V_{p}$を２度以上通過するような因果的曲線をもたないものが必ず存在することをいいます。
なぜこんないかにもめんどくさそうな条件を考えるのか･･･
例えば厳密解であるKerr解やTaub-NUT解では因果律の破れが起こり、大域的に未来と過去が定まらない物理的に好ましくない状況が起こります。(一般相対論自体は理論自体に因果律の破れを防ぐ原理を持っていません)
そこで因果律を守るため、通常閉じた時間的曲線(closed timelike curve 略してCTC)が存在しないとする時間的順序条件(chronology condition)や、閉じた因果的曲線(closed causal curve)が存在しないとする因果的順序条件(causality condition)を条件として課します。
まあこれで良さそうではあるのですが、実は最大拡張されたKerr時空のCauchy地平面の奥では、因果律が破れた領域が地平面で隠されていたとしても摂動を加えるとあらわになる可能性があります。
そのような状況を排除するためにこの強い因果律条件が課されます。
大域的双曲性は特異点定理の証明で非常に重要な概念で一回で書ききることができそうにないので、次回以降に時間をかけて書きたいと思います。
特異点定理に向けての補題
ちょっと持病の治療の為に長期入院することになってしまい、とてつもなく暇になってしまったので、今日から特異点定理の証明で重要となる命題を少しずつですが証明していこうと思います。
まずは未来集合に関する次の命題です。
[命題]
$S$を任意の未来集合とする。すなわち$I^{+}(S) \subset S$
このとき未来集合$S$の境界$\partial S$は閉じた非時間的な余次元１の$C^{1-}$部分多様体である。
$S$を任意の未来集合とする。すなわち$I^{+}(S) \subset S$
このとき未来集合$S$の境界$\partial S$は閉じた非時間的な余次元１の$C^{1-}$部分多様体である。
証明の前に言葉の定義をいくつか紹介しておきます。
「未来集合」は命題文の通りです。「過去集合」も同様に定義され、未来集合の補集合は過去集合となります。
すなわち、$ S $を$ M $の部分集合で、未来集合とすると、$M-S$は過去集合となります。
ある閉集合$S$が「非時間的(achronal)」とは、$S$上のいかなる2点も時間的曲線で結ぶことができないことを言います。
すなわち$S \cap I^{+}(S)=\emptyset$です。
また、数学でもこの記号を使うかはわからないですが、$C^{1-}$級関数とは、局所Lipschitz条件を満たす関数のことです。
[証明]
①
まず、$\partial S$が非時間的なことを$I^{+}$が開集合であることを使って証明する。
$q \in \partial S$とすると、$q$の任意の近傍は、$S$及び$M-S$と交わる。(境界の定義)
$p \in I^{+}(q)$とすると、$q$の近傍で$I^{-}(p)$に含まれるものが存在する。
$ S $は未来集合であるから、$I^{+}(q) \subset S$
同様にして$I^{-}(q) \subset M-S$
今$\partial S$が非時間的でないと仮定する、すなわち、$r \in \partial S$で$r \in I^{+}(q)$となる点が存在するとする。
$I^{+}(q)$は開集合であるから、$r$の近傍$V$で、$V \subset I^{+}(q) \subset S$となるものが存在し、$r \notin \partial S$ となり矛盾。
したがって$\partial S$は非時間的である。
②
$\partial S$が多様体となるように座標近傍系(atlas)が定義できることを示す。
$\partial S$の各点$p$の$ M $内での局所開近傍$U\_{p}$で局所Minkowski座標系$x^{\mu}=(x^{0},x^{i}),\ i=1,\cdots , D-1$を考える。
$\partial S$は非時間的であるから、時間的ベクトル場$(\frac{\partial}{\partial x^{0}})^{a}$の積分曲線が、$O_{p}\equiv\partial S \cap U_{p}$とただ1点で交わるようにできる。
これにより$O_{p}$から${\mathbb R}^{D-1}$の開集合への同相写像$\phi$を定義する。
$O_{p}$は$U_{p}$内において空間座標$x^{i}$についての適切な関数$F$による埋め込み$x^{0}=F(x^{i})$として実現される。
このとき$F$は局所Lipschitz条件を満たす$C^{1-}$級関数。
(すなわち、$\partial S$の任意の近傍$U$の2点$p,r\in \partial S \cap U$に対して適当な定数$K> 0$が存在して$ |F(p)-F(r)| < K|p-r| $)。
このようなchart $(O_{p},\phi(p)\equiv x^{i}(p))$を$\partial S$の各点で定義すれば、atlas{$O_{\alpha},\phi_{\alpha}$}が構成できて、$\partial S$は$ M $に埋め込まれた$C^{1-}$級部分多様体となる。
①
まず、$\partial S$が非時間的なことを$I^{+}$が開集合であることを使って証明する。
$q \in \partial S$とすると、$q$の任意の近傍は、$S$及び$M-S$と交わる。(境界の定義)
$p \in I^{+}(q)$とすると、$q$の近傍で$I^{-}(p)$に含まれるものが存在する。
$ S $は未来集合であるから、$I^{+}(q) \subset S$
同様にして$I^{-}(q) \subset M-S$
今$\partial S$が非時間的でないと仮定する、すなわち、$r \in \partial S$で$r \in I^{+}(q)$となる点が存在するとする。
$I^{+}(q)$は開集合であるから、$r$の近傍$V$で、$V \subset I^{+}(q) \subset S$となるものが存在し、$r \notin \partial S$ となり矛盾。
したがって$\partial S$は非時間的である。
②
$\partial S$が多様体となるように座標近傍系(atlas)が定義できることを示す。
$\partial S$の各点$p$の$ M $内での局所開近傍$U\_{p}$で局所Minkowski座標系$x^{\mu}=(x^{0},x^{i}),\ i=1,\cdots , D-1$を考える。
$\partial S$は非時間的であるから、時間的ベクトル場$(\frac{\partial}{\partial x^{0}})^{a}$の積分曲線が、$O_{p}\equiv\partial S \cap U_{p}$とただ1点で交わるようにできる。
これにより$O_{p}$から${\mathbb R}^{D-1}$の開集合への同相写像$\phi$を定義する。
$O_{p}$は$U_{p}$内において空間座標$x^{i}$についての適切な関数$F$による埋め込み$x^{0}=F(x^{i})$として実現される。
このとき$F$は局所Lipschitz条件を満たす$C^{1-}$級関数。
(すなわち、$\partial S$の任意の近傍$U$の2点$p,r\in \partial S \cap U$に対して適当な定数$K> 0$が存在して$ |F(p)-F(r)| < K|p-r| $)。
このようなchart $(O_{p},\phi(p)\equiv x^{i}(p))$を$\partial S$の各点で定義すれば、atlas{$O_{\alpha},\phi_{\alpha}$}が構成できて、$\partial S$は$ M $に埋め込まれた$C^{1-}$級部分多様体となる。
[証明終了]
未来集合の例としては、例えば任意の集合$N$に対し$I^{+}(N), J^{+}(N)$などがあります。
また、$ S $に対し、$I^{+}(I^{+}(S)) \subset S$なので、$I^{+}(S)$は未来集合です。
のちに主役となるブラックホール領域$ B $は未来集合となります。
後でPenroseの定理を証明する(予定)ですが、そこでは$\partial S$として捕捉面$ T $に対する$\partial J(T)=E^{+}(T)$をとります。
※②に関して図を用いた補足
$\partial S$は、光的測地線で生成される$\partial S_{N}$、非因果的部分$\partial S_{0}$、未来および過去の端点集合$\partial S_{\pm}$からなる：$\partial S=\partial S_{N} \cup \partial S_{0} \cup \partial S_{+} \cup \partial S_{-}$
$U_{p}$は$p \in S$に対する開近傍で、その空間座標一定線が$\partial S$と1点のみで交わるようにMinkowski座標系を張る。
$U_{p}$内の太線が$x^{0}=F(x^{i})$を表し、$O_{p}=\partial S \cap U_{p}$の埋め込みを与える。
矢印は写像$\phi : U_{p} \rightarrow O_{p}$を表し、$O_{p}$の局所座標を誘導する。
注意としては、$q\in\partial S_{+}$で$ F $は微分不可能になっていて、極限が方向に依存するが、$O_{p}$が非時間的であるから方向依存の差は高々有界であり、$F(x^{i})$は局所Lipschitz条件を満たす。
重力波の今後(&時空の対称性)
久々の更新です。
２回目にしてもう更新する気力が無くなってましたが時間が少しできたので
今更ですが重力波がノーベル賞をとりましたね。
受賞者の１人、Kip S.Thorneは通称"電話帳"として知られる重力理論の有名な教科書、｢Gravitation｣の著者でもあります。
※電話帳といわれる所以はめちゃくちゃ分厚い本だからです。
こんなやつ↓
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僕も日本語版を持ってますが、まあ持ち歩きたくはないですね･･･ずっと研究室の本棚に置いてます。
さて、そのノーベル賞を受賞した重力波ですが、最初に観測されたのはブラックホールの合体により発生したもので、つい先日観測されたものは中性子星の合体によるものでした。
現在は地上でのレーザー干渉計による測定が行われていて、干渉計の長さはLIGOで4kmとなっています。
ざっくりいうと、この干渉計の長さが長ければ長い程、波長の長い重力波が観測できます。
昔に発生した重力波は赤方偏移で波長が伸びているので、ビッグバンぐらいの頃の情報を得ようとすると波長がとんでもなく長い重力波を観測する必要があります。
これは4kmそこらではダメなのですが、地上では地殻の振動の他、地球自身の曲率もあるのでこれ以上長くできません。
そこで考えられているのが、宇宙に衛生を打ち上げ、レーザー干渉計の長さを長くして測定しようという計画です。
そのひとつにLISA計画というものがあり、３つの衛星を打ち上げ、トライアングル状のレーザー干渉計をつくり測定をするというものです。
これに関してはLISAのHPの公式動画の紹介が素晴らしいので是非それを見てみてください。
www.youtube.com
まるでSF映画の紹介みたいですよね…
この計画でのレーザー干渉計の長さは公式発表だと500万kmで、文字通り桁違いの長さです。
これならきっと今まで見れなかった初期宇宙の重力波も見れるはず！！
なんですが･･･この計画は元々NASAとESAの共同プロジェクトだったのにNASAが撤退したために残念ながら打ち上げは2034年とだいぶ先に延期されてしまったようです。
試作機の打ち上げは2015年に成功しているようなので、あと20年弱辛抱強く待ちましょう･･･
前回特異点定理の話をして、その条件について次回書くと言ったんですが、やはりいきなり特異点定理の話を詰めていくのは急ぎ過ぎだと思い、その前段階としてブラックホールの話から進めていくことにします。
で、そのブラックホールの話に入る前のさらなる前段階として、時空の対称性とは何か？について知っておくと面白いです。
なので、時空対称性の数学的な扱いを纏めました。
多様体と、群論の知識が多少あれば、学部４年生でも読めると思います。
ただしかなり数学的(物理屋からみると)なので、その辺りに初めて触れるという人にはわけわからない･･･という感じかもしれません、すいません･･･
もともとゼミ用にまとめたものだったのでかなりお堅い感じになってますがご了承ください。
まだ実は途中だったりするので、こそこそ更新していくと思います。
(PDFになってるのでそこは注意を)
Dropbox - 時空対称性.pdf
時空の対称性が定義されると、そこから計量にいろいろな制限が課せられて、アインシュタイン方程式が解きやすくなります。
例えば有名なシュワルツシルト解は、時空が静的かつ球対称という制限を課して、アインシュタイン方程式を解いたときに出てくる解です。
ではまずその"静的"や"球対称"とはなんなのか？を数学的に定義する必要があります。(静的については今回は書いてませんがいずれ)
一般相対論を少し勉強したことがあるという人でも、このあたりの数学的な扱いは学部の講義等では扱わない(ことが多いのでは？)と思うので、ちゃんと知りたい！と言う人の役に立てばいいな･･･というのは建前で自分で纏めたことをどっかに残しておきたいだけです笑
特異点定理(singularity theorem)の紹介
最初に一般相対論の最も重要でかつ最も美しい(と僕がおもう)定理の一つ、
｢特異点定理(singularity theorem)｣
を紹介したいと思います。
Roger Penroseと車椅子の物理学者として有名なStephen Hawkingにより証明されたので「Penrose-Hawkingの特異点定理」と書かれていることも多いです。
まずいきなり結論からですが、この定理のステイトメントは次の通りです。
[特異点定理(1970)]
時空
が次の4つの条件を満たすとする。
(1)任意のspacelikeでないベクトル
に対し、
(強いエネルギー条件)
(2)null&timelike generic conditionが満たされている。
(3)閉じたtimelike曲線が存在しない。
(4)次の3条件のうち少なくとも一つを満たす。
(4-a)
はedgeのないcompact achronal setを持つ。
(4-b)は捕獲面を持つ。
(4-c)次のような点
が存在する。
から出た未来向き(過去向き)null測地線の膨張率がこの測地線束の各測地線に沿って負である。
時空
(1)任意のspacelikeでないベクトル
(2)null&timelike generic conditionが満たされている。
(3)閉じたtimelike曲線が存在しない。
(4)次の3条件のうち少なくとも一つを満たす。
(4-a)
(4-b)
(4-c)次のような点
このとき時空は少なくとも一つ完備でないtimelike又はnull測地線を有する。
多分学部で一般相対論を勉強しましたという人でもこの定理の意味を理解できる人は少ないと思います。というか単語の意味さえ全くわからなくてえ？これ物理なの？？って人が殆どかと思います。(少なくとも学部4年のときの僕はそうでした)
というのも、一般相対論における時空の構造に関する内容は講義等で扱うには
①数学的で難しい
②やってる時間がない(もっと他にやるべきことがある)
(あくまで個人の感想です)
①はそのまんまで、この手の内容を扱うには数学の、特に微分幾何、位相幾何が必須で、物理系の人間には荷が重い。
実際上の定理を証明したPenroseは物理学者というより数学者ですし、Hawkingも所属する研究室は数学科です(ってどっかで聞いた)
②は、そもそも一般相対論が必要な人間って物理系の中でもほんの一部ですし、量子力学とかの方が大事だと思われている。
というわけでぶっちゃけ物理の中でもかなりオタッキーな分野なので当然かと思います。(実際研究室の先輩にも相対論マニアしかやらないと言われた)
とりあえずこの定理の意味を一言で言えば、
「一般相対論の範疇では、現実的な世界において特異点が必ず発生する」
になります。
特異点というのは、シュワルツシルト解などに登場する、曲率が発散する点です。
･･･というのはあんまり正しくなく、特異点にもいっぱい種類があってややこしいのですが、上の定理ではステイトメントの最後、「完備でないtimelike又はnull測地線を有する」というところに"時空特異点"が現れています。
[定義：時空特異点]
有限なアフィンパラメータの長さをもつ全ての測地線が延長可能であるような時空を測地的完備(g-completeness)といい、完備でない測地線が存在する時空は特異点を持つと言う。
有限なアフィンパラメータの長さをもつ全ての測地線が延長可能であるような時空を測地的完備(g-completeness)といい、完備でない測地線が存在する時空は特異点を持つと言う。
これが時空特異点の定義です。
かみ砕いて言えば、測地線が途中で途切れていてその先に延ばすことができないという点です。
アインシュタイン方程式は解析的に解くのが非常に難しく、厳密解を得るにはしばし現実的でない対称性を課します。
例えばシュワルツシルト解は、真空で静的かつ球対称という強い対称性を課して得られる解です。
対称性を課して得られた解、例えばブラックホールやビッグバン宇宙では特異点が発生します。
特異点というのは既存の物理法則が適用できなくなるので現実にはあってほしくないものです。
なので、このような特異点は強い対称性を課したから出てきたものであって、現実世界には現れないものだと考えられていたそうです。
しかしこの定理の凄いところは、そんな対称性等なくても、もっというとアインシュタイン方程式を解かなくても、現実世界では"必ず"特異点が出現するというかなり強力な主張をしています。(定理の4つの条件は、現実的な世界では普通成り立っているものです。)
つまり、一般相対論はそれ自体が理論の破綻を予測するということです。
現在は量子効果でそのような特異点は発生しなくなるのでは？と考えて量子重力理論を構成しようと物理学者が頑張ってます。(多分）
この定理の厳密な証明は、正直言ってめっちゃ大変です。というか道のりが長い。証明をそらでできる人はマジで尊敬する。
証明はHawking本人の著書、Hawking&Ellis "The large scale structure of space-time"に載ってますがこの本自体ほぼ数学書で、覚悟を持って読まないと絶対挫折するし、これを読み切ったという人を学生では殆ど聞いたことがないです。何を隠そう僕自身まだ読み終わってないです。読み始めた人は自分が物理やってるのか数学やってるのか分からなくなること必至。
あとコメントとして、特異点定理と一言で言っても実は上の特異点定理は一番適用範囲が広いもので、条件を狭めたものが複数あります。
例えば膨張宇宙やブラックホールに限ったバージョンなどもあります。
今回はとりあえず紹介だけでしたが次回はこの定理を４つの条件が現実世界の何に対応してるのかを説明できたらと思います。
まだ僕自身勉強中なので間違い等ありましたら指摘していただけると助かります。
では。
はじめに
某大学理論物理研究室の院生が自分の勉強したことや興味のあることを纏めていくつもりです。
一般相対論やそれに関連した微分幾何、場の量子論、量子情報等（＋余談）
・一般相対論は、アインシュタイン方程式を解かずにわかる時空の大域的構造について書きたいのですが、如何せん数学的にこみいった話が多く、また自分の周りでその辺りを詳しくやってる人が少ないので間違ってるところなどあるかもです。
・場の量子論(というか超弦？)はAds/CFTに興味があり、その辺りを詳しく書いていきたいと思います。
・量子情報はまだまだ勉強中なのでどうなるかわかりませんが、基本ブラックホールに関連したことになると思います。
・数学的な厳密さはできるだけ重視したいですが、そうするとそれだけで一冊本になってしまうと思うので端折れるところは端折ります。
片手間の更新なのでペースはナメクジレベルだと思います。
