特異点定理に向けての補題
ちょっと持病の治療の為に長期入院することになってしまい、とてつもなく暇になってしまったので、今日から特異点定理の証明で重要となる命題を少しずつですが証明していこうと思います。
まずは未来集合に関する次の命題です。
[命題]
$S$を任意の未来集合とする。すなわち$I^{+}(S) \subset S$
このとき未来集合$S$の境界$\partial S$は閉じた非時間的な余次元１の$C^{1-}$部分多様体である。
$S$を任意の未来集合とする。すなわち$I^{+}(S) \subset S$
このとき未来集合$S$の境界$\partial S$は閉じた非時間的な余次元１の$C^{1-}$部分多様体である。
証明の前に言葉の定義をいくつか紹介しておきます。
「未来集合」は命題文の通りです。「過去集合」も同様に定義され、未来集合の補集合は過去集合となります。
すなわち、$ S $を$ M $の部分集合で、未来集合とすると、$M-S$は過去集合となります。
ある閉集合$S$が「非時間的(achronal)」とは、$S$上のいかなる2点も時間的曲線で結ぶことができないことを言います。
すなわち$S \cap I^{+}(S)=\emptyset$です。
また、数学でもこの記号を使うかはわからないですが、$C^{1-}$級関数とは、局所Lipschitz条件を満たす関数のことです。
[証明]
①
まず、$\partial S$が非時間的なことを$I^{+}$が開集合であることを使って証明する。
$q \in \partial S$とすると、$q$の任意の近傍は、$S$及び$M-S$と交わる。(境界の定義)
$p \in I^{+}(q)$とすると、$q$の近傍で$I^{-}(p)$に含まれるものが存在する。
$ S $は未来集合であるから、$I^{+}(q) \subset S$
同様にして$I^{-}(q) \subset M-S$
今$\partial S$が非時間的でないと仮定する、すなわち、$r \in \partial S$で$r \in I^{+}(q)$となる点が存在するとする。
$I^{+}(q)$は開集合であるから、$r$の近傍$V$で、$V \subset I^{+}(q) \subset S$となるものが存在し、$r \notin \partial S$ となり矛盾。
したがって$\partial S$は非時間的である。
②
$\partial S$が多様体となるように座標近傍系(atlas)が定義できることを示す。
$\partial S$の各点$p$の$ M $内での局所開近傍$U\_{p}$で局所Minkowski座標系$x^{\mu}=(x^{0},x^{i}),\ i=1,\cdots , D-1$を考える。
$\partial S$は非時間的であるから、時間的ベクトル場$(\frac{\partial}{\partial x^{0}})^{a}$の積分曲線が、$O_{p}\equiv\partial S \cap U_{p}$とただ1点で交わるようにできる。
これにより$O_{p}$から${\mathbb R}^{D-1}$の開集合への同相写像$\phi$を定義する。
$O_{p}$は$U_{p}$内において空間座標$x^{i}$についての適切な関数$F$による埋め込み$x^{0}=F(x^{i})$として実現される。
このとき$F$は局所Lipschitz条件を満たす$C^{1-}$級関数。
(すなわち、$\partial S$の任意の近傍$U$の2点$p,r\in \partial S \cap U$に対して適当な定数$K> 0$が存在して$ |F(p)-F(r)| < K|p-r| $)。
このようなchart $(O_{p},\phi(p)\equiv x^{i}(p))$を$\partial S$の各点で定義すれば、atlas{$O_{\alpha},\phi_{\alpha}$}が構成できて、$\partial S$は$ M $に埋め込まれた$C^{1-}$級部分多様体となる。
①
まず、$\partial S$が非時間的なことを$I^{+}$が開集合であることを使って証明する。
$q \in \partial S$とすると、$q$の任意の近傍は、$S$及び$M-S$と交わる。(境界の定義)
$p \in I^{+}(q)$とすると、$q$の近傍で$I^{-}(p)$に含まれるものが存在する。
$ S $は未来集合であるから、$I^{+}(q) \subset S$
同様にして$I^{-}(q) \subset M-S$
今$\partial S$が非時間的でないと仮定する、すなわち、$r \in \partial S$で$r \in I^{+}(q)$となる点が存在するとする。
$I^{+}(q)$は開集合であるから、$r$の近傍$V$で、$V \subset I^{+}(q) \subset S$となるものが存在し、$r \notin \partial S$ となり矛盾。
したがって$\partial S$は非時間的である。
②
$\partial S$が多様体となるように座標近傍系(atlas)が定義できることを示す。
$\partial S$の各点$p$の$ M $内での局所開近傍$U\_{p}$で局所Minkowski座標系$x^{\mu}=(x^{0},x^{i}),\ i=1,\cdots , D-1$を考える。
$\partial S$は非時間的であるから、時間的ベクトル場$(\frac{\partial}{\partial x^{0}})^{a}$の積分曲線が、$O_{p}\equiv\partial S \cap U_{p}$とただ1点で交わるようにできる。
これにより$O_{p}$から${\mathbb R}^{D-1}$の開集合への同相写像$\phi$を定義する。
$O_{p}$は$U_{p}$内において空間座標$x^{i}$についての適切な関数$F$による埋め込み$x^{0}=F(x^{i})$として実現される。
このとき$F$は局所Lipschitz条件を満たす$C^{1-}$級関数。
(すなわち、$\partial S$の任意の近傍$U$の2点$p,r\in \partial S \cap U$に対して適当な定数$K> 0$が存在して$ |F(p)-F(r)| < K|p-r| $)。
このようなchart $(O_{p},\phi(p)\equiv x^{i}(p))$を$\partial S$の各点で定義すれば、atlas{$O_{\alpha},\phi_{\alpha}$}が構成できて、$\partial S$は$ M $に埋め込まれた$C^{1-}$級部分多様体となる。
[証明終了]
未来集合の例としては、例えば任意の集合$N$に対し$I^{+}(N), J^{+}(N)$などがあります。
また、$ S $に対し、$I^{+}(I^{+}(S)) \subset S$なので、$I^{+}(S)$は未来集合です。
のちに主役となるブラックホール領域$ B $は未来集合となります。
後でPenroseの定理を証明する(予定)ですが、そこでは$\partial S$として捕捉面$ T $に対する$\partial J(T)=E^{+}(T)$をとります。
※②に関して図を用いた補足
$\partial S$は、光的測地線で生成される$\partial S_{N}$、非因果的部分$\partial S_{0}$、未来および過去の端点集合$\partial S_{\pm}$からなる：$\partial S=\partial S_{N} \cup \partial S_{0} \cup \partial S_{+} \cup \partial S_{-}$
$U_{p}$は$p \in S$に対する開近傍で、その空間座標一定線が$\partial S$と1点のみで交わるようにMinkowski座標系を張る。
$U_{p}$内の太線が$x^{0}=F(x^{i})$を表し、$O_{p}=\partial S \cap U_{p}$の埋め込みを与える。
矢印は写像$\phi : U_{p} \rightarrow O_{p}$を表し、$O_{p}$の局所座標を誘導する。
注意としては、$q\in\partial S_{+}$で$ F $は微分不可能になっていて、極限が方向に依存するが、$O_{p}$が非時間的であるから方向依存の差は高々有界であり、$F(x^{i})$は局所Lipschitz条件を満たす。
