極限点、極限曲線
前回大域的双曲性についての定理をひとつ証明しようかと思いますと言いましたが、その前に特異点定理の証明で後々必要となる極限点と極限曲線について書こうと思います。
今までもそうですが、今回は証明がかなり数学チックなので辛いです(僕自身が)
[定義：極限点、極限曲線]
因果的曲線からなる無限列$\{\lambda_{n}\}$を考える。
ある時空点$p$の任意の近傍が無限個の$\{\lambda_{n}\}$と交わるとき、点$p$を$\{\lambda_{n}\}$の極限点(limit point)という。
ある因果曲線$\lambda$が$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線(limit curve)であるとは、$\{\lambda_{n}\}$の部分列$\{\lambda'_{n}\}$で$\lambda$に収束するようなものが存在することをいう。
因果的曲線からなる無限列$\{\lambda_{n}\}$を考える。
ある時空点$p$の任意の近傍が無限個の$\{\lambda_{n}\}$と交わるとき、点$p$を$\{\lambda_{n}\}$の極限点(limit point)という。
ある因果曲線$\lambda$が$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線(limit curve)であるとは、$\{\lambda_{n}\}$の部分列$\{\lambda'_{n}\}$で$\lambda$に収束するようなものが存在することをいう。
極限曲線について、次の補題が成り立ちます。
[補題]
$ U \subset M $を開集合、$\{\lambda_{n}\}$を$U$内の未来向き延長不可能な因果的曲線の無限列とする。
このとき$p \in U$が$\{\lambda_{n}\}$の極限点ならば、$U$内に点$p$を通る未来向きに延長不可能な因果的曲線$\lambda$が存在し、それは$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線である。
$ U \subset M $を開集合、$\{\lambda_{n}\}$を$U$内の未来向き延長不可能な因果的曲線の無限列とする。
このとき$p \in U$が$\{\lambda_{n}\}$の極限点ならば、$U$内に点$p$を通る未来向きに延長不可能な因果的曲線$\lambda$が存在し、それは$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線である。
ここでの証明はHawking&Ellisに従います。(図も)
[証明]
${\mathcal u}_{1}$を$p$の凸正規座標近傍とし、$b > 0$に対し、${\mathcal B}(p,b)$を$p$を中心とする半径$b$の開球、$\lambda(1,0)_{n}$を$\{\lambda_{n}\} \cap {\mathcal u_{1}}$の部分列で$p$に収束するものとする。 $\partial {\mathcal B}(p,b)$はコンパクトであるから、$\lambda(1,0)_{n}$の極限点を含む。
そのような極限点$y$は$J^{-}(p,{\mathcal u_{1}})$か$J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})$のどちらかにある。そうでなければ${\mathcal u_{1}}$内に、$y$の近傍${\mathcal V_{1}}$と$p$の近傍${\mathcal V_{2}}$間の因果的曲線が存在しないので矛盾する。
そこでこのような極限点のひとつとして$x_{11}\in J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})\cap \partial{\mathcal B}(p,b)$を選び、$\lambda(1,1)_{n}$を$\lambda(1,0)_{n}$の部分列で$x_{11}$を極限点としてもつものとする。$x_{11}$は極限曲線$\lambda$の点になっている
$x_{ij}\in J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})\cap \partial {\mathcal B}(p,i^{-1}jb)$を\begin{cases} \lambda(i-1,i-1)_{n} & (j=0), \\ \lambda(i,j-1)_{n} & (i\geq j \geq 1)\end{cases}の極限点として定義し、$\lambda(i,j)_{n}$を上の部分列の部分列(ややこしい)で$x_{ij}$を極限点にもつものとして定義する。
(これは区間$[0,b]$をより小さい部分に分けていって、対応する$p$の球上での極限曲線上の点を得ている)
$x_{ij}$のどの２点も因果的に分けられるので、全ての$x_{ij}\ (j \geq i)$の和集合の閉包は$p=x_{i0}$から$x_{11}=x_{ii}$までの因果的曲線$\lambda$を与える。
後は$\{\lambda_{n}\}$の部分列$\{\lambda'_{n}\}$で各$q \in \{\lambda_{n}\}, \{\lambda'_{n}\}$に対し$q$に収束するものを構成すればよい。
$\{\lambda'_{n}\}$として、${\mathcal B(x_{mj},m^{-1}b)}\ \ (0 \leq j \leq m)$それぞれと交わる部分列$\lambda(m,m)_{n}$のメンバーをひとつ選ぶと、$\lambda$は$p$から$x_{11}$への$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線となる。
${\mathcal u_{2}}$を$x_{11}$の凸正規座標近傍として同様に$\{\lambda'_{n}\}$を構築でき、続けて$\lambda$を無限まで拡張できる。
${\mathcal u}_{1}$を$p$の凸正規座標近傍とし、$b > 0$に対し、${\mathcal B}(p,b)$を$p$を中心とする半径$b$の開球、$\lambda(1,0)_{n}$を$\{\lambda_{n}\} \cap {\mathcal u_{1}}$の部分列で$p$に収束するものとする。 $\partial {\mathcal B}(p,b)$はコンパクトであるから、$\lambda(1,0)_{n}$の極限点を含む。
そのような極限点$y$は$J^{-}(p,{\mathcal u_{1}})$か$J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})$のどちらかにある。そうでなければ${\mathcal u_{1}}$内に、$y$の近傍${\mathcal V_{1}}$と$p$の近傍${\mathcal V_{2}}$間の因果的曲線が存在しないので矛盾する。
そこでこのような極限点のひとつとして$x_{11}\in J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})\cap \partial{\mathcal B}(p,b)$を選び、$\lambda(1,1)_{n}$を$\lambda(1,0)_{n}$の部分列で$x_{11}$を極限点としてもつものとする。$x_{11}$は極限曲線$\lambda$の点になっている
$x_{ij}\in J^{+}(p,{\mathcal u_{1}})\cap \partial {\mathcal B}(p,i^{-1}jb)$を\begin{cases} \lambda(i-1,i-1)_{n} & (j=0), \\ \lambda(i,j-1)_{n} & (i\geq j \geq 1)\end{cases}の極限点として定義し、$\lambda(i,j)_{n}$を上の部分列の部分列(ややこしい)で$x_{ij}$を極限点にもつものとして定義する。
(これは区間$[0,b]$をより小さい部分に分けていって、対応する$p$の球上での極限曲線上の点を得ている)
$x_{ij}$のどの２点も因果的に分けられるので、全ての$x_{ij}\ (j \geq i)$の和集合の閉包は$p=x_{i0}$から$x_{11}=x_{ii}$までの因果的曲線$\lambda$を与える。
後は$\{\lambda_{n}\}$の部分列$\{\lambda'_{n}\}$で各$q \in \{\lambda_{n}\}, \{\lambda'_{n}\}$に対し$q$に収束するものを構成すればよい。
$\{\lambda'_{n}\}$として、${\mathcal B(x_{mj},m^{-1}b)}\ \ (0 \leq j \leq m)$それぞれと交わる部分列$\lambda(m,m)_{n}$のメンバーをひとつ選ぶと、$\lambda$は$p$から$x_{11}$への$\{\lambda_{n}\}$の極限曲線となる。
${\mathcal u_{2}}$を$x_{11}$の凸正規座標近傍として同様に$\{\lambda'_{n}\}$を構築でき、続けて$\lambda$を無限まで拡張できる。
[証明終了]
実際に題意を満たすものを具体的に構成するというのは数学の証明でよくやると思いますが、これを自分で思いつける気は全くしません･･･
次回はちょっと脱線してKerr解における因果律について書きたいかと思います。(なんかこの手の内容ばっかりだと疲れるので)
